Se llama factorial de 10, y se escribe 10!, al producto de todos los números naturales desde 1 hasta llegar a 10; es decir 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10. ¿Cuál es el número más pequeño que multiplicado por 10! nos da un cuadrado perfecto?
Problema propuesto en el Concurso de Primavera de Madrid 2008.
Se reciben comentarios hasta el jueves 28 de abril a las 20:00 (después de vacaciones). Entonces se harán visibles junto con la respuesta correcta.
Problema propuesto en el Concurso de Primavera de Madrid 2008.
Se reciben comentarios hasta el jueves 28 de abril a las 20:00 (después de vacaciones). Entonces se harán visibles junto con la respuesta correcta.
Aitor de 2ºF.
ResponderEliminarYo creo que el número más pequeño que multiplicado por 10! da un cuadrado perfecto es el 2. Porque 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10= 3628800 y este número al cuadrado da perfecto.
3628800 3628800=1316818944, etc,
Hola soy Jorge S. de 2º F. Hay que descomponer cada uno de los factores del producto en factores primos: 1=1, 2=2, 3=3, 4=2x4, 5=5, 6=2x3, 7=7, 8=2al cubo , 9=3al cuadrado y por último 10=2x5.
ResponderEliminarUna vez hecho esto se agrupan los factores que tengan la misma base: 2 elevado a 8 x 3 elevado a la cuarta x 5 elevado a el cuadrado x 7.
Para que sea un cuadrado perfecto todos sus exponentes tienen que tener el exponente par y el único que no tiene el exponente par es el 7, por lo tanto toda la operacion se multiplicará por 7: 2 elevado a 8 x 3 elevado a la cuarta x 5 elevado al cuadrado x 7 elevado al cuadrado.
CONCLUSIÓN: el número más pequeño es el 7
LAS "X" SON COMO SI FUERA LA MULTIPLICACIÓN Y HE PUESTO ELEVADO A... PORQUE NO SE PODÍA PONER UN NÚMERO.
Hola soy Víctor 2º E
ResponderEliminarTodos los cuadrados perfectos al descomponerlos en factores primos los exponentes son números pares.
Entonces lo primero que vamos ha hacer es descomponer en factores primos todos los número que tenemos que multiplicar y nos queda:
1x2x3x2 al cuadrado x5x2x3x7x2 al cubo x3 al cuadrado x2x5
Multiplicamos las potencias que tienen la misma base y queda 1x2 a la octava x3 a la cuarta x5 al cuadrado x7,en este producto todas las potencias tienen exponente par menos 7. Luego para que sea un cuadrado perfecto hay que multiplicarlo por 7 para que tenga exponente par.
Jorge de 2ºE:
ResponderEliminarEl número más pequeño que multiplicado por 10! nos da un cuadrado perfecto es el 100800, porque, al multiplicar los números que no eran cuadrados perfectos entre ellos daba 100800 y 100800 x 10! = 3,6578304 elevado a 11, y es un cuadrado perfecto porque se raiz cuadrada es 604800.
hola soy María V de 2ºF
ResponderEliminarEl número es el 7. Para sacarlo he mirado los números primos que hay de 1 a 10 que son 2, 3, 5 y 7. Sabiendo esto he visto que todos los números son divisores de otros excepto el 7: 2 es divisor de 4, 3 es divisor de 9 y 5 es divisor de 10, pero ningun número del 1 al 10 es múltiplo de 7.
Ángel 2ºE
ResponderEliminarLo primero que he hecho es descomponer factorialmente los numeros de 10!:9 ,8 , 7 ... hasta 2x1: 2x5,3x3,2x2x2,7,2x3,5,2x2,3,2, por lo que un cuadrado perfecto debe ser un producto de potencias pares por lo que falta multiplicar por 7:2elevado8, 3a4,5a2 y 7. Y el número mas pequeño es 7.
Soy Cristina de 2ºF.
ResponderEliminarPrimero he pensado en la decomposición de 10! en numero primos y lo he descompuesto en productos de factores primos:
10!=(1)·(2)·(3)·(2·2)·(5)·(3·2)·(7)·(2·2·2)·(3·3)·(5·2)
Luego he sacado factores comunes:
10!=(1)·(2^8)·(3^4)·(5^2)·(7)
El único número que no es cuadrado perfecto es el 7, con lo cual si multiplicamos por 7 el número que resulte será cuadrado perfecto.
10!=3628800
10!·7=25401600
Raíz cuadrada de 25401600= 5040.
La respuesta correcta es: el número 7, como bien dicen y explican Jorge S. 2ºF, Víctor, María 2º F, Ángel y Cristina.
ResponderEliminarAitor, no has entendido el sentido de la pregunta y eso te ha despistado al responder. Jorge, no has tenido en cuenta que en los números que no son cuadrados perfectos hay factores primos que, combinados entre sí, dan lugar a cuadrados perfectos.