jueves, 11 de noviembre de 2010

Problema de la semana: áreas

El triángulo ABC es rectángulo en B y tiene 50 cm2 de área. D es el punto medio de BC. AB mide 12,5 cm. Los arcos BC y CD son semicircunferencias. ¿Cuál es el área de la zona rayada?
Problema propuesto en la Semifinal de la XVII Olimpiada Matemática Aragonesa de 2º ESO (2007).


Puedes enviar tu respuesta razonada en un comentario hasta el jueves 18 de noviembre a las 20:00. Entonces serán visibles todas las respuestas enviadas y se dará a conocer la solución correcta.

7 comentarios:

  1. Hola, soy Cristina de 2ºF.

    Medida BC:
    12.5 * x/2 = 50
    X = 50 * 2 / 12.5
    X = 8cm

    Medida BD:
    8/2 = 4cm

    Área ABD:
    A=12.5 * 4 / 2 = 25 cm2

    Área medio círculo grande:
    A= πr^2 /2 = 3.14* 16/2= 25.12cm2

    Área medio círculo pequeño:
    A= πr^2 /2 = 3.14*4/2 = 6.28cm2

    Restamos al área del ½ círculo grande la del ½ círculo pequeño:
    25.12 – 6.28 = 18.84cm2

    Y le sumamos el área de ABD:
    25 + 18.84 = 43.84cm2, que es el área total de la zona sombreada.

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  2. Hola, soy David R de 2ºE, la solución es 43,84cm2 Primero, he calculado el área del triangulo ABD, que es 25cm2 , ya que de A a D va una línea que divide el triángulo ABC en dos partes iguales. La altura del triángulo es 8cm (se multiplica el área total por 2 y se divide para la base, 12,5cm). 8 también es el diámetro de la circunferencia grande, asi que el radio es 4cm y el de la circunferencia pequeña es 2cm. Después he calculado el área de las dos (π r2 , divida entre dos porque es una semicircunferencia) y las he restado. Luego se lo he sumado a 25cm2.

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  3. Hola soy Ivan de 2ºF
    Primero calculamos el área del triángulo ABD, que es exactamente la mitad del ABC, o sea 25 cm2 y le sumaremos el resto de zona rayada calculando el área de las dos semicircunferencias y restándolas (25,12-6,28= 18,84). La suma de las dos zonas rayadas da 43,84 cm2, que creo es la solución.

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  4. Hola soy Alejandro .T. de 2ºF y esta es i solución 34.56 m2. Si sabemos que el area del triangulo es 50m2 hacemos la operación a la inversa BC : 50 x 2 /125 : 8 m2. A continuación he hayado el segmento AB = 50/2 = 12.5 m2.
    Si sumamos los catetos nos da la hipotenusa del triángulo que es el segmento AC : 15.6+6.4:22.
    Si el area de un circulo es pi x R ( radio) al cuadrado nos da 25.12 como es medio circulo lo dividimos entre 2 que es igual a 12.56 si sumamos 22+12.56 nos da que el area es igual a 34.56 m2 tiene la figura

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  5. hola soy maria V de 2ºF
    Yo creo que le área de la parte rayada es de 62,69 m2 porque el segmento BC que es el diámetro del semicírculo mide 8 que lo sé porque la fórmula del triángulo es base por altura partido por dos entonces la altura de el triángulo de la imagen tendría que ser 12,5 por x partido por 2 igual a cincuenta entonces al despejar la x me da 8.Para hallar el área total hacemos pi por radio al cuadrado = pi por 4 al cuadrado = mas o menos 50.26 de esto he quitado el área de la zona sin sombrear que es pi por dos al cuadrado = mas o menos 12,57 para ver el área sombreada hacemos la diferenciaque son 50,26 - 12,57 = 37,69. Para hallar el área del triángulo sombreado he hecho otra vez la fórmula (base por altura partido por dos) que es 12,5 por 4 partido por dos que me da 25 cm2 que si se lo sumo a 37,69 que es el área de la parte rayada circular pues me da 62,69 cm2de área de parte rayada.

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  6. Soy Elisa de 2ºE:
    b x a
    area del triángulo: a= _____
    12.5 x a 2
    50=__________
    2

    50 x 2= 12.5 x a

    100
    a= _____= 8cm.
    12.5

    R= 4cm. r= 2cm.

    semicírculo grande - semicírculo pequeño

    3.14 x 16 - 3.14 x 4 2
    _____________________= 18.84 cm.
    2
    2
    50:2= 25cm. el triángulo pequeño
    2
    25+18.84= 43.84cm mide la zona rayada.

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  7. ¡Bien por Cristina, David, Iván y Elisa! Vuestras respuestas son correctas y en algunos casos están explicadas con detalle.
    Y casi bien María: sólo te has despistado un poco al calcular áreas de círculos completos, cuando en realidad se trata de semicírculos. Pero tu explicación es muy clara.
    Alejandro, está bien que lo intentes, pero has estado flojo esta vez: la medida de un segmento no la puedes dar en unidades de superficie; hallar se escribe con "ll"; eso de que sumando los catetos obtienes la hipotenusa haría llorar al pobre Pitágoras...; y no tiene sentido sumar la hipotenuda, que es una longitud, con el área de un semicírculo. Seguro que te "picas" y el próximo problema lo haces mucho mejor.

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